聲明：本文為《現(xiàn)代防御技術(shù)》雜志社供《中國(guó)軍工網(wǎng)》獨(dú)家稿件。未經(jīng)許可，請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載。

作者簡(jiǎn)介：溫羨嶠（1937-），男，山西文水人，研究員，大學(xué)，主要從事導(dǎo)彈武器系統(tǒng)總體研究。
通信地址：100854北京142 信箱30分箱電話：(010) 68389378
溫羨嶠1，高雁翎2
(1.中國(guó)航天科工集團(tuán)公司 二院二部,北京100854；2.中國(guó)航天科工集團(tuán)公司 二院208 所,北京100854）

摘要：在彈道導(dǎo)彈攻防對(duì)抗仿真研究中，彈道導(dǎo)彈作為攻擊方，其彈道的精確性對(duì)導(dǎo)彈攻防對(duì)抗仿真的最終結(jié)果有著重要的影響。地球旋轉(zhuǎn)是影響彈道導(dǎo)彈彈道精度的重要因素，通過運(yùn)用簡(jiǎn)化公式對(duì)地球旋轉(zhuǎn)對(duì)彈道導(dǎo)彈精度的影響進(jìn)行了計(jì)算。研究表明，對(duì)射程大于500 km的彈道導(dǎo)彈在預(yù)測(cè)彈道及落點(diǎn)時(shí)應(yīng)考慮地球旋轉(zhuǎn)的影響，否則將會(huì)帶來較大的誤差。
關(guān)鍵詞：彈道導(dǎo)彈；地球旋轉(zhuǎn)；彈道性能
中圖分類號(hào)：TJ7613文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009086X（2006）01001105

Influence of the earth rotation on the performance
of the ballistic missile
WEN Xianqiao1，GAO Yanling2
(1.The Second System Design Department of the Second Research Academy of CASIC, Beijing 100854, China;
2.The 208th Institute of the Second Research Academy of CASIC, Beijing 100854 , China)

Abstract:As the attack side in the area of attack and defense countermeasure simulation of ballistic missile, accuracy of ballistic missile′s trajectory significantly affects the finally result of attack and defense countermeasure. The earth rotation is one of the important factors which affect the accuracy of ballistic missile trajectory. The accuracy of ballistic missile trajectory influenced by the earth rotation is calculated and analyzed with simplification formulary. The result shows that the earth rotation should be calculated by forecasting the trajectory when the range of ballistic missile is longer than 500 kilometers, otherwise the error will be increased.
Key words:Ballistic missile； Earth rotation； Ballistic performance

1引言
在研究彈道導(dǎo)彈攻防對(duì)抗中，通常把地球旋轉(zhuǎn)、地球扁率、大氣密度計(jì)算不準(zhǔn)等因素對(duì)攻防對(duì)抗中彈道的影響，特別是對(duì)命中點(diǎn)計(jì)算中的影響忽略不計(jì)。對(duì)于小射程彈道導(dǎo)彈如射程在500 km之內(nèi)時(shí)，這樣做是可以的，但對(duì)于大射程的彈道導(dǎo)彈這樣做就會(huì)帶來較大的誤差。為對(duì)此問題有一個(gè)深入的了解，我們對(duì)地球旋轉(zhuǎn)對(duì)彈道主要性能影響進(jìn)行分析，以供研究者參考。
2符號(hào)說明及基本假設(shè)
2.1符號(hào)說明
t：導(dǎo)彈飛行時(shí)間；
vk：在慣性坐標(biāo)系內(nèi)導(dǎo)彈的停火點(diǎn)速度；
v′k：在地球坐標(biāo)系內(nèi)導(dǎo)彈的?；瘘c(diǎn)速度；
：在慣性坐標(biāo)系內(nèi)速度向量與地心水平面的夾角；
′ ：在地球坐標(biāo)系內(nèi)速度向量與地心水平面的夾角；
rk：?；瘘c(diǎn)至地心的距離；
β ：射程角；
ψ ：在慣性坐標(biāo)系內(nèi)?；瘘c(diǎn)處的射擊方位角；
ψ′ ：在地球坐標(biāo)系內(nèi)?；瘘c(diǎn)處的射擊方位角；
φr ：大地緯度；
Δλ ：大地經(jīng)度差；
R：地球半徑，R≈6 371 110 m；
ω ：地球旋轉(zhuǎn)角速度；
f：牛頓引力常數(shù)；
m：地球質(zhì)量；
α ：地球扁率（橢率）；
k：?；瘘c(diǎn)角標(biāo)；
c：彈著點(diǎn)角標(biāo)；
 ：真空段角標(biāo)。
現(xiàn)代防御技術(shù)·導(dǎo)彈技術(shù)溫羨嶠，高雁翎：地球旋轉(zhuǎn)對(duì)彈道性能影響分析現(xiàn)代防御技術(shù)2006年第34卷第1期2.2基本假設(shè)
（1） 地球自轉(zhuǎn)是勻速的，且旋轉(zhuǎn)角速度ω=7292 1×10-5s-1；
（2） 地球是半徑為R的圓形球體，重力場(chǎng)是有心的牛頓力場(chǎng)；
（3） 地球的基本水準(zhǔn)面是指圓形球體的表面，彈著點(diǎn)的位置均在球面上確定；
（4） 忽略了地球扁率的影響，并把大地緯度看作地心緯度。大地緯度與地心緯度之最大差值μ可以這樣確定：μ＝2sin（2φr），α＝1〖〗2983，當(dāng)φr＝45°時(shí)，μmax ≈115′；
（5） 地球旋轉(zhuǎn)對(duì)主動(dòng)段影響可以忽略；
（6） 在計(jì)算彈道再入段時(shí)空氣阻力忽略不計(jì)。
3地球旋轉(zhuǎn)對(duì)落點(diǎn)射程的影響
3.1坐標(biāo)系選取
（1） 慣性坐標(biāo)系。原點(diǎn)位于地球中心，x軸取在赤道平面上，y軸通過北極，z軸通過?；瘘c(diǎn)對(duì)應(yīng)的子午線，構(gòu)成右手系。三坐標(biāo)軸分別指向三個(gè)恒星（如圖1所示）。顯然，如認(rèn)為地球不繞太陽公轉(zhuǎn)，則坐標(biāo)系是靜止的。
圖1慣性坐標(biāo)系
Fig1Inertial coordinate system
（2） 地球坐標(biāo)系。原點(diǎn)O1在發(fā)射點(diǎn)，O1x1切于發(fā)射點(diǎn)地球表面，并指向瞄準(zhǔn)方向，O1y1軸自發(fā)射點(diǎn)垂直向上，O1z1軸按右手坐標(biāo)系得到，即垂直于O1 x1y1平面，指向瞄準(zhǔn)方向的右方（如圖2所示）［1，2］。
圖2地球坐標(biāo)系
Fig2Earth coordinate system
3.2計(jì)算公式
由彈道計(jì)算知，在地球坐標(biāo)系中的?；瘘c(diǎn)速度v′k，當(dāng)考慮到地球旋轉(zhuǎn)作用時(shí)，在?；瘘c(diǎn)必須增加一個(gè)向東的速度分量：wrkcos φrk，φrk為發(fā)射點(diǎn)緯度。
故導(dǎo)彈的絕對(duì)速度為vk＝v′k＋wrkcos  φrk（1）導(dǎo)彈在?；瘘c(diǎn)相對(duì)于地球坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系之間的關(guān)系為v′ksin ′k＝vksin k，
v′kcos ′kcos φ′＝vkcos kcos φ，
v′kcos ′ksin φ′＋ωrkcos φrk＝vkcos ksin φ經(jīng)代數(shù)運(yùn)算，可求得在慣性坐標(biāo)系中停火點(diǎn)的射擊方位角為ψ＝arctantan φ′＋ωrkcos φrk〖〗v′kcos ′kcos ψ′（2）在慣性坐標(biāo)系中的彈道參數(shù)為k＝arctantan ′kcos ψ〖〗cos ψ′，（3）
vk＝v′ksin ′k〖〗sin k（4）如認(rèn)為地球的質(zhì)量都集中在地球的中心，按假設(shè)2，導(dǎo)彈遵循橢圓彈道運(yùn)動(dòng)，有關(guān)文獻(xiàn)已給出了彈道被動(dòng)段的總射程角β′c(如圖3所示)和總飛行時(shí)間tc,即β′c＝β1＋β2，（5）
β1＝arccos1〖〗ε1－rkv2kcos2k〖〗k，
β2＝arccos1〖〗ε1－rk〖〗Rrkv2kcos2k〖〗k，式中：ε＝1－1〖〗k22k〖〗rk－v2k（rkvkcos k）2，
k＝fM＝398 620 km3/s2
tc＝2πkzk〖〗zk－zkv2k3/2（1－A1－A2），（6）式中：Ai＝1－ε2〖〗2π－εsin βi〖〗1－εcos βi＋
2〖〗1－ε2arctan1－ε〖〗1＋εctanβi〖〗2，
i=1,2.圖3彈道總射程角
Fig3Chief range angle of trajectory
由于地球是繞南北軸旋轉(zhuǎn)的，因此地球旋轉(zhuǎn)并不影響彈著點(diǎn)的緯度。采用球面三角公式，求得彈著點(diǎn)的緯度：
φrc＝arcsin（cos β′csin φrk＋sin β′ccos φrkcos ψ）（7）
當(dāng)發(fā)射點(diǎn)和彈著點(diǎn)位于北半球時(shí)，φrk,φrc均取正值。
在慣性系統(tǒng)中彈著點(diǎn)與停火點(diǎn)的經(jīng)度差為Δλ＝arcctan－sin φrkctan ψ＋cos φrkctan β′c〖〗sin ψ（8）由于目標(biāo)位置的運(yùn)動(dòng)，在tc時(shí)間內(nèi)停火點(diǎn)至彈著點(diǎn)相對(duì)于地球的大地經(jīng)度變化為Δλ′＝Δλ－ωtc，（9）如果導(dǎo)彈向東發(fā)射，那么，Δλ總是正的。
現(xiàn)根據(jù)?；瘘c(diǎn)和實(shí)際命中點(diǎn)的位置，確定地球旋轉(zhuǎn)作用下的射程。為此，采用慣性坐標(biāo)系，并寫出?；瘘c(diǎn)和命中點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖4所示。
圖4停火點(diǎn)與命中點(diǎn)慣性坐標(biāo)
Fig4Inertial coordinate of turn off point
and impact point
從圖4得：rk＝rk（jsin φrk＋kcos φrk），
R＝R（icos φrcsin Δλ′＋jsin φrc＋kcos φrccos Δλ′），式中：i，j，k分別表示慣性坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸Ox,Oy,Oz的單位矢量。
根據(jù)點(diǎn)積的定義有cos β″c＝rk·R〖〗rkR＝sin φrksin φrc＋
cos φrkcos φrccos Δλ′，所以，β″c＝arccos（sin φrksin φrc＋cos φrkcos φrccos Δλ′）， 則L＝Rβ″c（10）將式（10）所求與未考慮地球旋轉(zhuǎn)作用的射程比較，就完全能確定彈著點(diǎn)對(duì)預(yù)定命中目標(biāo)的射程偏差，計(jì)算結(jié)果如表1所示。
表1彈著點(diǎn)與預(yù)定命中目標(biāo)的射程偏差
Table 1The range error between the impact point
and forecast impact point km發(fā)射方向〖〗標(biāo)準(zhǔn)值（ω＝0）〖〗計(jì)算值（ω≠0）〖〗差值ΔL西
東〖〗468.149 0〖〗464.276 2〖〗-3.873472.955 4〖〗4.806西
東〖〗1 116.206 0〖〗1 096.927 0〖〗-19.2841 134.927 0〖〗18.646東〖〗2 506.340 0〖〗2 583.524 0〖〗77.200
由表1可見，對(duì)于大射程情況下，由于地球旋轉(zhuǎn)帶來的射程差值將成倍增加，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真對(duì)待。
這里需特別強(qiáng)調(diào)的是：①向東或向西發(fā)射時(shí)；②相對(duì)于地球表面垂直發(fā)射時(shí)，上述討論所采用的公式（2）、（3）、（4）是不適用的。因?yàn)?，這時(shí)ψ′＝±90°或′k＝90° 。此時(shí)，若考慮地球旋轉(zhuǎn)對(duì)射程影響時(shí)，要以下列公式代替式（2）、（3）、（4）。ψ′＝±90°（向東取正號(hào)），（11）
k＝arctanv′k〖〗ωrkcos φrk，（12）
vk＝v ′k±（ωrkcos φrk）2（13）然后再利用上述討論的公式（5）～（10）計(jì)算即可得結(jié)果。
4地球旋轉(zhuǎn)對(duì)射擊方位角的影響
由前知，ωrkcosφrk的作用不僅改變了導(dǎo)彈飛行速度的大小，同時(shí)也改變了速度的方向，結(jié)果該導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)所在的平面必將改變。確定彈著點(diǎn)對(duì)射擊平面的偏離，可以采用兩種方法來計(jì)算，其一是采用確定實(shí)際彈著點(diǎn)位置的方法，其二是考慮地球自轉(zhuǎn)在?；瘘c(diǎn)給予導(dǎo)彈一個(gè)側(cè)向速度分量并考慮到在飛行時(shí)間內(nèi)靶場(chǎng)目標(biāo)位置的變化來確定的方法。本文采用第一種方法。
前面公式（7）和（9）給出了地球旋轉(zhuǎn)作用下的實(shí)際彈著點(diǎn)的緯度φrc和經(jīng)度差Δλ′，用球面三角公式來決定實(shí)際射擊方位角為ψ1＝arcctan－sin φrkctan Δλ′＋cos φrktan φrc〖〗sin Δλ′（14）同理，還可以求出來考慮地球旋轉(zhuǎn)作用的射擊方位角為ψ2＝arcctansin φrkctanΔλc＋cos φrktan φ′rc〖〗sin Δλc，（15）式中：φ′rc＝arcsin（cos βcsin φrk＋sin βccos φrkcos ψ′），
Δλc＝arcctan（－sin φrkctan ψ′＋cos φrkctan βc〖〗sin ψ′），βc為未考慮地球旋轉(zhuǎn)的射程角；Δλc為不動(dòng)球體上目標(biāo)與停火點(diǎn)之經(jīng)度差。
因此，由于地球旋轉(zhuǎn)作用引起的射擊方位角偏差為Δψ＝ψ1－ψ2，（16）目前位置對(duì)預(yù)定命中點(diǎn)的側(cè)向偏差為Δz＝Rβctan Δψ（17）求得結(jié)果如表2所示。
表2地球旋轉(zhuǎn)對(duì)射擊方位角的影響
Table 2The effect of firing azimuth by the earth rotation
射程L/km〖〗計(jì)算結(jié)果（φr0＝45°，ψ0＝90°）ΔL /m〖〗Δz/m〖〗Δψ/（′）506.6〖〗4 806〖〗8 455〖〗57.38986.9〖〗16 822〖〗20 184〖〗70.302 600〖〗77 200〖〗92 243〖〗120.607 300〖〗878 560〖〗96 088〖〗449.91可見，隨著射程的增大，其射程誤差、側(cè)向偏差、射擊方位角偏差迅速增大，對(duì)于洲際彈道導(dǎo)彈影響會(huì)更大，射程偏差增至878.56 km，而側(cè)向偏差增至96 km。
5初始條件的換算
考慮地球旋轉(zhuǎn)對(duì)導(dǎo)彈飛行彈道影響時(shí)，導(dǎo)彈在停火點(diǎn)位置相對(duì)于地球表面的緯度φrk和射擊方位角ψ′作為已知條件，然而實(shí)際上已知的只是在指定靶場(chǎng)位置上的特定條件，即只知道發(fā)射點(diǎn)的大地緯度和射擊方位角。為此，需要建立在停火點(diǎn)相對(duì)于地球表面的緯度和射擊方位角與發(fā)射點(diǎn)之間的關(guān)系。
由球面三角形邊的余弦公式，得出?；瘘c(diǎn)相對(duì)于地球表面的緯度表示式：φrk＝arcsin（cos δksin φr0＋sin δkcos φr0cos ψ0），（18）式中：φr0為發(fā)射點(diǎn)的大地緯度；ψ0為發(fā)射點(diǎn)的射擊方位角；δk為主動(dòng)段射程角，δk＝arcsinxk〖〗R＋yk ，式中：xk為地球坐標(biāo)系的坐標(biāo)
利用球面三角形的余切公式，得?；瘘c(diǎn)相對(duì)于地球的射擊方位角為ψ′＝π－arctansin δktan φ0〖〗sin ψ0－cos δkctan ψ0（19）使用上式時(shí)，取值時(shí)必須注意反三角函數(shù)的多值性。
6地球旋轉(zhuǎn)對(duì)射程影響
由于彈道式導(dǎo)彈大部分在真空中飛行，主動(dòng)段和再入段飛行時(shí)間較短，通常主動(dòng)段一般持續(xù)3～4 min，再入段持續(xù)1～2 min，而中段則持續(xù)可達(dá)20 min之多。因此，對(duì)主動(dòng)段、再入段地球旋轉(zhuǎn)影響較小。另外，通過分析已知地球旋轉(zhuǎn)對(duì)主動(dòng)段和被動(dòng)段影響的效應(yīng)存在補(bǔ)償作用，如當(dāng)我們向西射擊時(shí)，主動(dòng)段總是消除角的最優(yōu)偏差值，使ΔL＞0，而被動(dòng)段由于角的增大向西射擊時(shí)，總是ΔL＜0，顯然，其綜合效應(yīng)起相互抵消作用。
基于上述原因，近似認(rèn)為地球旋轉(zhuǎn)對(duì)彈道主動(dòng)段和再入段射程的影響之和基本為0，因此可忽略對(duì)再入段的影響部分的補(bǔ)償，加上第5條基本假設(shè)，這樣地球旋轉(zhuǎn)只是影響彈道真空段射程［3］。
此時(shí)公式（5）換算成橢圓軌道真空段射程角的計(jì)算：β＝2arctanνktan k〖〗1－νk＋tan2 k，（20）式中：νk＝v2krk〖〗g0R2
公式（6）換算成導(dǎo)彈在橢圓軌道上所走過時(shí)間的表達(dá)式：t＝2〖〗（2－νk）3〖〗2R〖〗g0（ψ＋esin ψ），（21）式中：ψ＝arccos1－νk〖〗e，
e＝1－νk（2－νk）cos2 k
求出地球旋轉(zhuǎn)對(duì)橢圓軌道真空段射程的影響，通過式（20）計(jì)算得的結(jié)果見表3。
表3地球旋轉(zhuǎn)對(duì)橢圓軌道真空段射程的影響
Table 3The influence of vacuum segment range
on ellipse orbit by earth rotation
T/s〖〗方向〖〗計(jì)算值/m〖〗標(biāo)準(zhǔn)值/m〖〗差值ΔL/km102
114
117〖〗西〖〗415 503.9
868 668.1
1 020 474.2〖〗420 302
853 537
1 039 510〖〗-4.798
-14.868
-19.036102
114
117〖〗東〖〗425 975.4
870 359.1
1 062 234.8〖〗420 302
853 537
1 039 510〖〗5.674
16.820
22.724
可見，其射程差值，方向無論向西還是向東，均與公式（5）計(jì)算所得結(jié)果在量值上相當(dāng)。
7結(jié)束語
本文研究了地球旋轉(zhuǎn)對(duì)彈道性能參數(shù)的影響，特別是大射程下，地球旋轉(zhuǎn)影響更為嚴(yán)重，應(yīng)當(dāng)引起防御彈道導(dǎo)彈方面專家的高度重視，否則，將會(huì)對(duì)防御方帶來無可挽回的后果。